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概要2016年現在、 数学では「単項式は多項式に含まれる」とするのが習慣である。 しかし、「多項式が和の形をした式でなけれならない」など、 中高の教科書では「~の形で表された式」と定義する場合が多い:
数学的には、このような定義に対し、その定義式に変形できれば満たすと解釈する。 そこで、現状把握するべく検定済み教科書を中心に、「多項式」の定義について調べた。 目次用語の定義「多項式」という言葉自体が異なる概念を指す現象についての議論であるため、
*1
Wikipedia/自然数: https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
*2 Wikipedia/環: https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29 *3 Wikipedia/冪乗: https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E4%B9%97 *4 Wikipedia/線形性: https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E6%80%A7 *5 多変数の場合はに差し替えれば良い。 *6 表記法:Notationに因む。 代数学教科書(大学・高専向け)共立2000:『共立講座 21世紀の数学⑨ 代数と数論の基礎』『代数と数論の基礎』は大学の教科書として編集された本である。
その上、多項式という命名について、わざわざ脚注25)まで加えられている:
『代数と数論の基礎』の「多項式」の定義は以下のように読める:
このような数学書を読めるためには、以下の習慣を知っている必要がある:
以上より、共立2000『現代数学への入門 代数入門1』はP流である。 *7
共立出版: http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320015616
*8 Amazon: http://www.amazon.co.jp/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%81%A8%E6%95%B0%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E-%E5%85%B1%E7%AB%8B%E8%AC%9B%E5%BA%A7-21%E4%B8%96%E7%B4%80%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E4%B8%AD%E5%B3%B6-%E5%8C%A0%E4%B8%80/dp/4320015614 岩波1999?:『現代数学への入門 代数入門1』
『代数入門1』は「代数を通した現代数学への入門書」である。 P86、第3章「多項式と方程式」(a)1変数多項式の節で、多項式と単項式が定義される:
このように、多項式を定義し、その1項の特例として単項式を定義する場合もある。 以上より、岩波1999『現代数学への入門 代数入門1』はP流である。 裳華1983:『基礎の数学』『基礎の数学』は「高等専門学校でのカリキュラムを効率よく学習」できるように編集されている。 P1の第1章「式の計算」§1整式で単項式と多項式が定義されている:
P2で整式が定義されている:
多項式を「単項式の和の形で表された式」と定義しているのは、多くの中高の教科書と同じスタイル。 P5では展開式が定義されている:
ここで、「積の形をしている整式」という言い回しが登場するが、
以上より、裳華1983『基礎の数学』はP流である。 *10
裳華堂: https://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1059-2.htm
*11 Amazon: http://www.amazon.co.jp/%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E7%9F%A2%E9%87%8E-%E5%81%A5%E5%A4%AA%E9%83%8E/dp/4785310596 *12 もしくは、苦しみもせずに理解もしないだろう。 日評2009:『代数入門』“Discourses on Algebra”はロシアで書かれた大学用教科書である*18。
「単項式の和を多項式という」という文言は簡潔で、日本の教科書と同じ言い回しである*19。
つまり、式「」は定数であり、多項式である。 同様に、
つまり、「」は単項式であり、多項式でもある、という見方になる。 以上より、日評2009『代数入門』はP流である。 *13
書面印字では「蟹」は「鮮」の下に「虫」。
*14 日本評論社: https://www.nippyo.co.jp/shop/book/5088.html *15 Amazon: http://www.amazon.co.jp/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%85%A5%E9%96%80-%E3%82%A4%E3%82%B4%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BBR-%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%AC%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%83%E3%83%81/dp/4535784000 *16 Amazon.com: http://www.amazon.com/Discourses-Algebra-Igor-R-Shafarevich/dp/B002NX0IWC *17 Amazon.co.jp, 2013再版: http://www.amazon.co.jp/Discourses-Algebra-Universitext-Igor-Shafarevich/dp/3540422536 *18 本人は序文で「本書を教科書であると言うつもりはない。」とは言っているが、英語版は間違いなくSpringerのUniversitextに収録されている。 *19 ロシア語や英語でも同じ言い回しか、日本語へ翻訳した際に読み替えた言い回しかは、未確認。 中学校用検定済み教科書東書2015j#28:『新編 新しい数学』 1/2/3
数2のP10にて、単項式と多項式が定義されている:
文字や数と単項式の包含関係が明記されているのに対し、 実際、直後にある例1では、「単項式の和の形」でない式を「単項式の和の形」に変形できることを、
このため、多項式の定義も演算による定義として運用されることになる。 他方、数3のP12には「展開する」が定義されている:
まず、「単項式や多項式」は、単項式を多項式に含ませない考え方への配慮と取れる。 次に、「積の形の式」や「単項式の和の形」は、は明示的に数式の表記に関する表記と読める。 以上より、東書2015j#28:『新編 新しい数学』はN流ではない。 学図2015j#30:『中学校 数学 1/2/3』
数1のP31では加法の式について項が定義されている:
数1のP75で文字式についての項が定義されている:
数2のP14で単項式、多項式、定数項が定義されている:
項の定義が表記に基づいているのに対し、単項式と多項式の定義は演算に基づいている。 その扱い方では、「和の形で表された式」と定義された多項式に対しても、 数3のP16では展開が定義されている:
数3のP22では因数分解への導入に以下の文面がある:
数3のP28では因数分解が定義されている:
単項式を多項式に含ませない立場を取りながら、「整式」という用語が欠けてるため、 以上より、学図2015j#30:『中学校 数学 1/2/3』はN流ではない。 大日2015j#29:『新版 数学の世界 1/2/3』
数1のP76では1次式に関しての項が定義されている:
数2のP10では単項式と多項式、定数項が定義されている:
項の定義が記号区切りに基づいているために、表記に基づいている。 注目すべきは、以下の事実と、これらの事実から導けかれる悪い結果。
その結果:は1つ項に分類される。 数3のP13では展開が定義されている:
数3のP26では因数が定義されている:
「整式」に相当する語句が未定義なため長い言い回しもあるものの、運用もN流である。 以上より、大日本2015j#29:『新版 数学の世界 1/2/3』はN流である。 教出2015j#31:『中学数学 1/2/3』
数1のP29で数に関して「項」が定義されている:
数1のP71で1次式に関して「項」が定義されている:
数2のP12とP13で単項式、多項式、定数項が定義されている:
単項式と多項式は、項の数によって定義されている。 ただし、大日本図書の教科書と異なるのは、これまでに分数式が現れてない*20。 また、直後で「数や文字の積の形だけでつくられた式」と限定しているため、 P34の「章の問題」で単項式・多項式の分類を問い、
数3のP15では展開が定義されている:
数3のP24では因数分解が定義されている:
N流の解釈では、全て式の形に関する表現となるため、整合性が取れている。
積の形でないなども因数扱いするため、「積の形に表す」表現は演算に基づく定義と言える。 また、教育出版の教科書では、索引で英語が併記されている:
数2
数3
残念なことに、折角対応する英語を示しているのに、 以上より、教出2015j#31:『中学数学 1/2/3』はN流である。 啓林2015j#32:『未来へひろがる 数学 1/2/3』
数2のP15で単項式、多項式と項が定義されている:
また、直後の例1は多項式の判定をせず、あくまでも項の判定に焦点を当てている:
数3のP16では、「展開する」が定義されている:
同じ数3のP24では、「因数分解」が定義されている:
展開と因数分解では、明示的に表記を表す「和の形」と「積の形」が用いられている。 以上より、啓林館2015j#32:『未来へひろがる 数学 1/2/3』はN流ではない。 数研2015j#34:『改訂版 中学校 数学 1/2/3』
数2のP16で、単項式、多項式と項が定義されている。
直後の例1は多項式の判定をせず、あくまでも項の判定に焦点を当てている:
数3のP26で、展開が定義されている:
数3のP26とP27で、因数分解が定義されている:
以上より、数研2015j#34:『改訂版 中学校 数学 1/2/3』はN流ではない。 日文2015j#35:『中学数学 1/2/3』
数2のP12に単項式、多項式と項が定義されている:
多項式の定義に「2つ以上の単項式」とあるため、単項式を多項式に含めない立場である。 直後の例1は多項式の判定をせず、あくまでも項の判定に焦点を当てている:
ただ、P12における導入では、 また、P12では式の形に着目するよう促す誘導が成されている:
数3のP14では展開が定義されている:
数3のP26では因数と因数分解が定義されている:
以上より、日文2015j#35:『中学数学 1/2/3』はS流である。 高等学校用検定済み教科書東書2012a:『新編 数学 Ⅰ/Ⅱ』
数ⅠのP6で、単項式と多項式、そして整式が定義されている:
数ⅠのP10に展開が定義されている:
数ⅠのP14に因数分解が定義されている:
数ⅡのP31で剰余の定理が与えられている:
数ⅡのP32で因数定理が与えられている:
このように、以後の説明では、多項式は基本的に登場せず、単項式と整式が多用される。 以上より、東書2012a:『新編 数学 Ⅰ/Ⅱ』はS流である。P流にも触れている。 実教2012a:『新版 数学 Ⅰ/Ⅱ』
数ⅠのP6で、単項式が定義されている:
数ⅠのP7で、多項式と整式が定義されている:
数ⅠのP12に展開が定義されている:
数ⅠのP20に因数分解が定義されている:
数ⅡのP39で剰余の定理が与えられている:
展開の定義では、多項式と整式の使い分けが確認できる。 以上より、実教2012a:『新版 数学 Ⅰ/Ⅱ』はN流ではない。 啓林2012a:『新編 数学 Ⅰ/Ⅱ』
数ⅠのP10で、単項式が定義されている:
数ⅠのP11で、多項式と整式が定義されている:
このように、単項式と多項式の包含関係を明示している。 数ⅠのP16に展開が定義されている:
数ⅠのP20に因数分解が定義されている:
「単項式の和の形」を「1つの多項式」とあるように、多項式を式の形として扱っている。
:,以上より、啓林館2012a:『新編 数学 Ⅰ/Ⅱ』はP流である。 数研2012a:『新編 数学 Ⅰ/Ⅱ』
数ⅠのP6で、単項式が定義されている:
数ⅠのP7で、多項式と整式が定義されている:
直後に、単項式を多項式の特例とする流儀について補足される:
数ⅠのP11で、展開が定義されている:
数ⅠのP15で、因数分解が定義されている:
数ⅡのP51では、剰余の定理が定義されている:
数ⅡのP53では、剰余の定理から因数の定理を導いている:
このように、以後の説明では、多項式は基本的に登場せず、単項式と整式が多用される。 以上より、数研2012a:『新編 数学 Ⅰ/Ⅱ』はS流である。P流にも触れている。 数研2012b:『新 高校の数学 Ⅰ』
数ⅠのP10で、単項式と多項式、そして整式が定義されている:
単項式の定義が「かけてできた式」と演算に基づくのと同じく、 以上より、数研2012b:『新 高校の数学 Ⅰ』はP流である。 特に、S流である数研2012a:『新編 数学 Ⅰ/Ⅱ』と異なっているのが要注意。 第一2012a:『高等学校 新編 数学 Ⅰ/Ⅱ』
数ⅠのP2で、単項式が定義されている:
数ⅠのP3で、多項式と整式が定義されている:
単項式の定義が「いくつかの~の積として表される式」と同じく、
このため、第一の教科書は以下の3通りの可能性が考えられる:
数ⅠのP7で展開が定義されている:
数ⅠのP12で因数分解が定義されている:
数ⅡのP49で因数定理が定義されている:
展開の定義で「整式」と区別して「1つの多項式」とあるように、N流の考え方も混在している。 以上より、第一2012a:『高等学校 新編 数学 Ⅰ/Ⅱ』は、以下の何れである。
一般図書森北1989:『マグロウヒル 英和 物理・数学用語辞典』
以上より、森北1989:『マグロウヒル 英和 物理・数学用語辞典』はP流である。 *22
森北出版: https://www.morikita.co.jp/books/book/555
*23 Amazon: http://www.amazon.co.jp/%E3%83%9E%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%A6%E3%83%92%E3%83%AB%E8%8B%B1%E5%92%8C-%E7%89%A9%E7%90%86%E3%83%BB%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%94%A8%E8%AA%9E%E8%BE%9E%E5%85%B8-Daniel-N-Lapedes/dp/4627150709 *24 Amazon.co.jp: http://www.amazon.co.jp/McGraw-Hill-Dictionary-Physics-Mathematics/dp/0070454809/ 講談1999:『数学英和小辞典』
まず、「単項式」と「項」は循環参照になっていて、定義にならない。 *25
講談社: http://bookclub.kodansha.co.jp/product?isbn=9784061539563
*26 Amazon: http://www.amazon.co.jp/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%8B%B1%E5%92%8C%E5%B0%8F%E4%BA%8B%E5%85%B8-KS%E7%90%86%E5%B7%A5%E5%AD%A6%E5%B0%82%E9%96%80%E6%9B%B8-%E9%A3%AF%E9%AB%98-%E8%8C%82/dp/4061539566 朝倉2005:『現代物理学ハンドブック』P9の1.2「写像」で単項式と多項式が定義される:
、、の場合、が導けて、多項式は単項式を含む。 朝倉2005:『現代物理学ハンドブック』はP流である。 *27
朝倉書店: http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-13092-8/
*28 http://www.amazon.co.jp/%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6%E3%83%8F%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%96%E3%83%83%E3%82%AF-%E9%88%B4%E6%9C%A8-%E5%A2%97%E9%9B%84/dp/4254130929 朝倉2011:『数学辞典』(普及版)
多項式を「代数的表現」とN流的な定義をしておきながら、
以上より、朝倉2011:『数学辞典』はP流である。 *29
朝倉書店: http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11131-6/
*30 Amazon: http://www.amazon.co.jp/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%BE%9E%E5%85%B8-%E4%B8%80%E6%9D%BE-%E4%BF%A1/dp/4254111312 *31 Amazon: http://www.amazon.co.jp/Mathematics-Dictionary-R-C-James/dp/0412990415 朝倉2013:『関数事典』
17章「多項式関数」17:1節「記法」で多項式が定義される:
17:3節「定義」では多項式の別の表記が定義されている:
多項式の表記は、17:1:1の「一般的な記法」の他に、「連鎖の形」として「入れ子の和」と「個の積」もある。 *32
朝倉書店: https://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11136-1/
*33 Amazon: http://www.amazon.co.jp/%E9%96%A2%E6%95%B0%E4%BA%8B%E5%85%B8-Keith-B-Oldham/dp/4254111363 *34 Amazon.co.jp: http://www.amazon.co.jp/An-Atlas-Functions-Function-Calculator/dp/0387488065 東洋2000:『和英/英和 算数・数学 用語活用辞典』『和英/英和 算数・数学 用語活用辞典』は算数・数学の諸概念に関する対訳形式の辞典である。
まず、単項式は定義されたことにならない。 *35
東洋館: http://www.toyokan.co.jp/book/b102701.html
*36 Amazon: http://www.amazon.co.jp/%E5%92%8C%E8%8B%B1-%E8%8B%B1%E5%92%8C-%E7%AE%97%E6%95%B0%E3%83%BB%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%94%A8%E8%AA%9E%E6%B4%BB%E7%94%A8%E8%BE%9E%E5%85%B8-%E6%97%A5%E6%9C%AC%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%95%99%E8%82%B2%E5%AD%A6%E4%BC%9A/dp/4491016445 アルク2009:『英和 学習基本用語辞典 数学』(新装版)*37
『英和 学習基本用語辞典 数学』は海外子女や留学生向けに書かれた辞書です。
単項式の定義が項に基づくが、 *37
http://www.amazon.co.jp/%E6%96%B0%E8%A3%85%E7%89%88-%E8%8B%B1%E5%92%8C%E5%AD%A6%E7%BF%92%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%94%A8%E8%AA%9E%E8%BE%9E%E5%85%B8-%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E7%95%99%E5%AD%A6%E5%BF%9C%E6%8F%B4%E3%82%B7%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%BA-%E8%97%A4%E6%BE%A4/dp/4757415729/ref=sr_1_4?s=books&ie=UTF8&qid=1461272814&sr=1-4&keywords=%E8%8B%B1%E5%92%8C+%E5%AD%A6%E7%BF%92%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%94%A8%E8%AA%9E%E8%BE%9E%E5%85%B8
日評2014:『算数・数学活用事典』『算数・数学活用事典』は、自然や社会を支配している法則を知るために法則の土台である数学について、 P46の1章「等式・方程式」で多項式と単項式、整式が定義されている。
単項式を多項式の特例として定義し、整式と多項式を同義とするため、P流である。 *38
日本評論社: https://www.nippyo.co.jp/shop/book/6613.html
*39 Amazon: http://www.amazon.co.jp/%E7%AE%97%E6%95%B0%E3%83%BB%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%B4%BB%E7%94%A8%E4%BA%8B%E5%85%B8-%E6%AD%A6%E8%97%A4-%E5%BE%B9/dp/4535787174 サイエン2006:『国語式数学Ⅰ~一歩進んだ高校数学~』『国語式数学』は文部科学省の国費学部留学生のために著者が作った数学教科書(非売品)を原型とし、 第2章「等式と不等式」2.1節「整式」2.1.1「整式と次数」で単項式と多項式、整式が定義されている:
「整式」に対し、脚注で別流派の定義について補足されている:
以上より、サイエン2006:『国語式数学Ⅰ~一歩進んだ高校数学~』はS流である。P流にも触れている。 *40
サイエンティスト社: http://www.scientist-press.com/14_50.html
*41 Amazon: http://www.amazon.co.jp/%E5%9B%BD%E8%AA%9E%E5%BC%8F%E6%95%B0%E5%AD%A6%E2%80%95%E4%B8%80%E6%AD%A9%E9%80%B2%E3%82%93%E3%81%A0%E9%AB%98%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6-1-%E9%95%B7%E8%B0%B7%E5%B7%9D-%E8%B2%B4%E4%B9%8B/dp/4860790251 朝倉2000:『<生涯学習>はじめからの数学2 式について』『<生涯学習>はじめからの数学2 式について』は、以下の問いかけに関わっている。
想定している読者と目的は読み取れないが、全体の雰囲気からは算数を情緒的に綴った感じである。 P9、P10で単項式と多項式、整式が定義されている:
そして、P10の傍注で多項式と単項式の包含関係が補足されている:
以上より、朝倉2000:『<生涯学習>はじめからの数学2 式について』は、P流である。 *42
朝倉書店: http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11536-9/
*43 Amazon: http://www.amazon.co.jp/%E5%BC%8F%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6-%E3%81%AF%E3%81%98%E3%82%81%E3%81%8B%E3%82%89%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6-%E5%BF%97%E8%B3%80-%E6%B5%A9%E4%BA%8C/dp/4254115369/ まとめ以上、単項式と多項式、整式の定義を表1に纏める:
凡例:
:,※アルク2009において、単項式の定義は表記上「1つの項」となっているが、 以上の調査から得られるポイントを以下に纏める:
最後に
今後の予定
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